2021年，数学系教师在基础数学若干研究领域取得重要进展，通过教师个人申报和系所推荐，系学术委员会投票最终评选出16项优秀科研成果。具体成果信息如下：

1.韩小利

成果名称： A rigidity theorem for the deformed Hermitian-Yang-Mills equation.Calc. Var and PDE,2021.

成果简介：In this paper, we study the deformed Hermitian-Yang-Mills equation on compact K\"ahler manifold with non-negative orthogonal bisectional curvature. We prove that the curvatures of deformed Hermitian-Yang-Mills metrics are parallel with respect to the background metric if there exists a positive constant such that We also consider the self-shrinker over to the corresponding parabolic flow. We prove that the self-shrinker over is a quadratic polynomial function.  At last, we show a similar rigidity theorem for the J-equations  and the self-shrinkers over to J-flow.

2.胡家信

成果名称：Heat kernels and non-local Dirichlet forms on ultrametric spaces. Ann. Scuola Norm. Pisa,Vol. XXII (2021), 399-461.

成果简介：本文研究超度量空间上的一类跳跃测度及其相关的非局部正则狄氏型（non-local regular Dirichlet form），根据跳跃测度的性质，得到了热核双边估计的等价性条件。同时，通过若干例子，给出了非退化和奇异跳跃测度的热核最佳估计，从而，依照游动维数划分，黎曼流形和超度量空间是两个极端情形。该论文揭示了度量空间上热核估计的极端现象，是胡家信和德国Bielefeld大学Alexander Grigor’yan 教授、波兰华沙大学Alexander Bendikov教授、天津大学胡二彦副教授合作完成。

3.邢文训

成果名称： Maximizing perturbation radii for robust convex quadratically constrained quadratic programs. European Journal of Operational Research 293(1), 50-64, 2021.

成果简介：鲁棒优化是最优控制领域近期的一个研究热点，其主要功能是从满足所有带有扰动参数约束方程中选择目标最优的策略。最优策略的确定对扰动参数具有既往性，即根据现有的扰动参数得到目前的最优策略，一旦参数发生变化，现有的最优策略可能失效。就如同一个号称可抵御五十年一遇洪水的大坝，其设计和建造是根据到目前为止的历史降雨量，一旦未来的降雨量不在这些历史数据范围内，如何给出理论的抵御量？本文基于这样的背景，借鉴灵敏度分析和扰动分析的思想，创新性的提出以扰动数据变化范围的半径作为决策变量，针对给定的决策方案，评价该方案能够满足扰动数据的最大变化半径，这是一个新的鲁棒灵敏度分析问题。从理论上，基于凸二次约束二次规划建立的优化模型，我们首先证明其等价于分式规划问题。由于一般分式规划问题是NP-hard问题，我们利用凸分析中的锥优化理论，将其等价地表示半定规划的锥优化模型，进而可在多项式时间复杂度内求解该问题。最后，通过投资效益组合(portfolio selection)问题，数值比对我们的模型同分式规划算法及一些其他的最优化变形算法的计算效率。本文的第一第二作者为本人的博士生。

4.郑春雄

成果名称： Space reduction for linear systems with local symmetry,Journal of Scientific Computing，2021, 89(3):59.

成果简介：空间约化是缩减计算规模的一个常用的方法。针对连续的偏微分方程，采用区域分解的思想，并充分利用问题的局部对称性，已经发展了许多行之有效的约化方法，比如DtN方法，PML方法，积分方程方法等。然而，对一些新兴的数理模型，比如离散晶格模型和非局部模型，相关的工作还不多见。在论文《Space reduction for linear systems with local symmetry》中，我们汲取积分方法的核心思想，将其拓展到一般具有局部对称性的线性问题上。我们用纯代数的方法展示了空间约化方法的基本操作步骤，建立起平行于积分方程方法的广义边界积分方程，并采用对称耦合的思想，将无界区域上或具有无限自由度的计算问题约化为一个有界区域上或有限自由度的计算问题。我们以连续椭圆方程为例，说明了经典积分方程方法事实上可以归类到所用的代数框架下。为了验证有效性，我们将发展的空间约化方法应用于求解平面三角晶格问题以及有限元离散后的修正Helmholtz方程。

5.朱敏娴

成果名称：On the hyperplane conjecture for periods of Calabi-Yau hypersurfaces in P^n. Journal of Differential Geometry,2021,118(1):101-146.

成果简介：本篇文章的主要结果是证明了 Hosono, 连文豪，以及丘先生在90年代中期提出的超平面猜想的一个特殊情况（即猜想对射影空间成立）。他们的出发点是研究Gelfand-Kapranov-Zelevinsky超几何方程的哪些解是环面簇中卡拉比-丘超曲面的周期积分。当把GKZ方程的解表示成对偶环面簇的上同调群取值的函数时，他们猜想从中提取周期积分等价于将其与对偶环面簇的卡拉比-丘类作cup product，故而得名超平面猜想。我们的论文的主要结果是这个猜想对复射影空间成立。证明主要用到了两点：一是研究与卡拉比-丘类作cup product之后得到的解与拓展GKZ-方程的关系；二是运用Beilinson-Bernstein-Deligne的分解定理计算作cup product之后得到的解的维数。论文中得到的很多部分结果对任意Gorenstein Fano 环面簇都成立。

6.邹文明

成果名称：Normalized solutions for a coupled Schrödinger system. Math. Ann. 380(2021), no. 3-4, 1713–1740.

成果简介： 薛定谔方程是量子力学中最重要的方程。自该方程提出以来，对其解的存在性和各种性质的研究，一直是数学和物理工作者关注的焦点。 由于在Bose–Einstein凝聚等问题中有着重要的应用，在过去的几十年里,许多数学家对非线性Schrodinger方程做过大量的研究。在某些情况下，它的解代表波函数, 解的平方代表粒子在某时间出现在一定空间位置的概率密度, 因此很自然地会有正规化条件（一种质量约束条件）。从而，寻找正规化解(质量约束条件下的解)是物理学家和数学家非常关心的问题。 本文考虑的是稳态形式的薛定谔方程组（有时也称为Groos-Pitaevskii方程组）的正规化解问题---它描述的是两种物质态的情形，即有两个（质量）约束条件，证明解的存在性更加困难和复杂。这方面分为两种情形：

(1)种内吸引和种间排斥(self-focusing and repulsive interaction)的情形。德国数学家Bartsch和法国数学家Soave在文献 J. Funct.Anal.(2017)和CVPDE（2019）中通过极小极大的方法得到了正规化解的存在性,同时他们还获得了正规化解的相位分离现象。  

(2)种内和种间均吸引(self-focusing and attractive interaction)的情形,   Bartsch-Zhong-邹文明在这篇推荐文献（即 Math. Ann., 2021)中用分歧的方法精确刻画了正规化解存在的参数范围,同时也得到了正规化解不存在的参数范围。  

目前国际上用变分法研究正规化解的存在性，主要有德国-法国学派，以T.Bartsch 和L.Jeanjean 为代表，他们通过引进等价泛函再结合山路引理和环绕方法来研究。

Bartsch-Zhong-邹文明在这篇文献（即 Math. Ann., 2021)里面首次发现了“固定频率问题”和“固定质量问题”这两类薛定谔方程组之间解的存在性关系，并建立了“解的同构定理”， 然后结合分歧理论，获得了前人方法无法获得的新结果。Bartsch-Zhong-邹的这种方法完全不同于德国-法国学派以T.Bartsch 和L.Jeanjean 为代表引进的方法和技巧。

7.陈志杰

成果名称：Chen Zhijie and Lin Chang-Shou, Exact number and non-degeneracy of critical points of multiple Green functions on rectangular tori, Journal of Differential Geometry, 118 (2021), 457-485.

成果简介：当解不唯一时，椭圆偏微分方程解的精确个数是很难的问题。在这篇发表在JDG的论文中，我们研究了环面上多变量Green函数的临界点的精确个数和非退化性。作为应用，我们证明了平均场方程对某些位于(n-1,n)的参数恰好有n个解。

8.何凌冰

成果名称：Boltzmann equation with cutoff Rutherford scattering cross section near Maxwellian, Arch. Ration. Mech. Anal. ,2021,242, no. 3,1631–1748.

成果简介：证明了在平衡态高斯函数附近，具有Rutherford核的Boltzmann方程整体稳定性理论，从而给出了Landa方程推导的数学理论。

9.贾仲孝

成果名称：The convergence of the generalized Lanczos trust-region method for the trust-region subproblem, SIAM Journal on Optimization, 31(1) (2021): 887-914.

成果简介：广义Lanczos信赖域(GLTR)方法是求解大规模椭圆型信赖域子问题的最重要方法，1999年由Gould等人提出，其收敛性包括四个基本问题：（1）拉格朗日乘子的收敛性问题；（2）近似解的收敛性问题；（3）近似目标函数值的收敛性问题；（4）近似解的残差收敛性问题。残差是四个量中唯一能实际计算的，被用来设计算法的停机准则。该论文完整解决了该方法的收敛性问题，建立了前三个先验误差和可计算的后验残量范数的紧致上界,以及四者之间的内在关系，使得能用残量大小判断其它三个误差的大小，这为设计可靠实用的停机准则提供了可靠的理论保证。

10.刘思齐，张友金

成果名称：The Hodge-FVH correspondence, J. Reine Angew. Math. 775 (2021), 259-300.

成果简介：Hodge-FVH 对应是关于一类满足局部Calabi-Yau条件的3次Hodge积分与某一称为分数阶Volterra方程簇的可积方程簇之间联系的猜想，由刘思齐、张友金和周春辉于2018年提出,它猜测这一可积方程簇的一个特殊的tau函数的对数给出了上述Hodge积分的生成函数。本论文通过对分数阶Volterra方程簇的Virasoro对称性质的深入研究，证明了分数阶Volterra方程簇的某一满足Virasoro对称约束的tau函数的对数满足3次Hodge积分的生成函数所满足的圈方程，由此证明了上述3次Hodge积分的生成函数即为分数阶Volterra方程簇的一个tau函数的对数，从而给出了上述猜想的证明。通过上述研究，我们也对上述3次Hodge积分所具有的gap现象有了更好的了解，给出了这一gap 现象中出现的某些系数的新的计算方法。

11.王小群

成果名称：Convergence analysis of quasi-Monte Carlo sampling for quantile and expected shortfall.Mathematics of Computation,90 (2021), 303-319.

成果简介：该论文发表于美国数学会计算数学顶级刊物 Mathematics of Computation. 首次在非常一般的条件下证明了确定性模拟方法在风险度量计算中的理论误差界及收敛阶，克服了函数间断的本质困难 （此类困难数十年来一直无法解决）。以前文献中的误差界仅局限于光滑函数，不适用于金融计算问题。该论文引发一系列新的研究，具有很好的理论价值。

12.吴昊

成果名称：Autoencoder-based MIMO Communications with Learnable ADCs .Best Paper Award, 2021 IEEE 21st International Conference on Communication Technology.

成果简介：Best Paper Award, 2021 IEEE 21st International Conference on Communication Technology

13.杨顶辉

成果名称: A Wave Propagation Model Based on Fractional Viscoelasticity and Biot's Theory. CHINA SCIENCE Earth Sciences, Vol. 64(3): 364–376.

成果简介：油气储层的数学物理建模是勘探地球物理领域的热点问题。本文提出了一种分数阶粘弹性本构关系，并与Biot模型结合，建立了一类新的分数阶多孔隙介质波传播数学物理模型，揭示了油气储层介质中的波传播规律，为复杂油气储层的精准勘探提供了理论基础。

14.曾惠慧

成果名称：Almost Global Solutions to the Three-Dimensional Isentropic Inviscid Flows with Damping in a Physical Vacuum Around Barenlatt Solutions.ARCHIVE FOR RATIONAL MECHANICS AND ANALYSIS,2021,239(1):553-597.

成果简介：申请人对没有任何对称假设的一般三维带阻尼可压等熵欧拉方程物理真空自由边界问题，当初值为Barenblatt自相似解的小扰动时，证明了光滑解的几乎整体存在性。这是高维可压无粘流体物理真空自由边界问题的第一个真空自由边界随时间仅为次线性膨胀的长时间几乎整体存在性结果；利用局部质量守恒和尺度变换来对比原问题的解和Barenblatt自相似解；建立了追踪气体粒子运动及真空自由边界随时间演化的方法；建立了以粒子轨迹为向量场的旋度的衰减估计。

15.张立平

成果名称：A NEWTON-TYPE ALGORITHM FOR THE TENSOR EIGENVALUE COMPLEMENTARITY PROBLEM AND SOME APPLICATIONS, Mathematics of Computation,2021,90(327): 215-231.

成果简介：提出了新的理论思想，把张量Z-特征值和H-特征值问题统一为张量互补问题，首次给出了二阶算法，发表在顶刊 Mathematics of Computation。

16.左怀青

成果名称：4d N=2 SCFT and singularity theory Part IV: Isolated rational Gorenstein non-complete intersection singularities with at least one-dimensional deformation and nontrivial T-2.MATHEMATICAL RESEARCH LETTERS.

成果简介：论文发在MATHEMATICAL RESEARCH LETTERS， 首次构造了具有非平凡形变的有理Gorenstein非完全交奇点，这类奇点对应4d N=2 SCFT。